在命題的推證過程中,按推理的途徑將證明方法分為綜合法與分析法,它們是證明推理的常用方法。
一、綜合法
由問題的已知條件或已知事實出發,向問題的結果進行推理,直至推出所求的結果,這種演繹推理方法叫做綜合法。
用綜合法解決問題 “ p → ( → : 表示推出 ) q ” 的表達模式是 :
p(已知) → q1 → q2 → ... →qn→ q(結論) .
例題1、已知 sin2α = 2sin4° , 求證 : tan(α + 2°)cot(α - 2°) = 3 .
證明:由已知得
sin [ (α + 2°)+ (α - 2°) ] = 2 sin [ (α + 2°)- (α - 2°)]
展開整理得
3 cos(α + 2°)sin(α - 2°)= sin(α + 2°)cos(α - 2°)
所以 tan(α + 2°)cot(α - 2°) = 3 .
注:用綜合法解題由已知 p 推出的中間結果往往不止一個,因而到達最終結果 q 的途徑往往不止一條。因此,明確推證方向,選擇最佳途徑是用綜合法解題的關鍵。
二、分析法
由問題的所求結果出發,步步尋求結果成立的充分條件,直至這個充分條件已經具備(或是已知條件,或是已知事實),至此問題獲解,這種推理方法叫做分析法。
分析法是一種由結果追溯到產生這一結果的原因的思維方法,分析法又叫做執果索因法 。
用分析法解決問題 “ p → ( → : 表示推出 ) q ” 的表達模式是 :
q(結論)← q1 ← q2 ←... ←qn ←p(已知).
例題2、已知 a > 5 , 求證 :
證明:要證原不等式成立,只要證:
只要證:
只要證:a(a - 5 ) < ( a - 2 )( a - 3 ) ,
即證 :
只要證 0 < 6 , 故原不等式成立 。
注:用分析法解題步步追溯的條件都是結論成立的充分條件(充要條件更成立),因此分析法表述中的箭頭都是倒箭頭,在倒溯中要時時聯繫已知條件 p 進行猜想,選擇最佳途徑,這也是一個猜證結合點 。
三、小結
綜合法和分析法是直接證明中最基本的兩種方法,也是解決數學問題時常用到的思維方式,常把他們結合起來使用。
當遇到較難的新命題時,應當先用分析法來探求解法,然後將找到的解法用綜合法敘述出來。
四、作業
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