數學到底有多重要？

夢境幻影人生

“數學到底有多重要？”，這個問題我相信很多喜愛數學的人都會思考過。當然，很多非數學專業的人，哪怕是普通群眾即便沒有深入思考過這個問題的話，他們也能真真實實地感受到數學的重要性的。作為一名數學專業的博士生，我對這個問題不斷地進行過思考，所以當看到悟空問答上有人問到該問題時，很想與大家一同分享我的體會！

引言

先引一句話，馬克思說：“一門科學只有當它達到了能夠成功地運用數學時，才算真正發展了。”這句話是我看到的對數學的最高評價。數學既是一種文化、一種“思想的體操”，更是現代理性文化的核心。

數學推動國家發展

數學實力往往影響著國家實力，世界強國必然是數學強國。數學對於一個國家的發展至關重要，發達國家常常把保持數學領先地位作為他們的戰略需求。

17-19世紀英國、法國以及包括後來的德國都是資本主義大國，同樣也是數學強國。17世紀英國牛頓發明微積分，掀起一場革命；而法國一直有比較好的數學文化傳統，有非常多的數學大家，比如龐加萊，傅里葉，柯西等。俄羅斯數學從19世紀開始崛起，到了20世紀前蘇聯時期成為世界數學強國之一。 蘇聯發射第一顆人造地球衛星後，美國加強了對數學研究和數學教育的投入，使得本來在科技界、工商界、軍事部門等方面就有良好應用數學基礎的美國，迅速成為一個數學強國。蘇聯、東歐解體後，美國又吸納了其中大批的優秀數學家。

數學促進人的成長

數學開闊人的視野，增添人的智慧。一個人是否受過這種文化薰陶，在觀察世界、思考問題時會有很大差別。數學修養不但對於一般科學工作者很重要，就是有了數學修養的經營者、決策者，在面臨市場有多種可能的結果，技術路線有多種不同選擇時，也有可能減少失誤。

億萬富翁詹姆斯·賽蒙斯就是一個最好的例證。在進入華爾街之前，賽蒙斯是個優秀的數學家，進入華爾街之後，他和巴菲特的“價值投資”理念不同，賽蒙斯依靠數學模型和電腦管理 旗下的鉅額基金，用數學模型捕捉市場機會，由電腦做出交易決策。他稱自己 為“模型先生”，認為建立好的數學模型可以有效地降低風險。

小結

總的說來，數學的重要性不僅是針對個人，也是針對整個社會、國家，甚至是全人類的幸福發展的。我們理應在生活中熱愛數學，運用數學，身為學生，我們也要學好數學，把數學與其他學科融會貫通，共同促進科學發展！

希望我的分享對於大家關於這個問題的繼續思考有所幫助，也歡迎大家關注我，我會持續對一些數學方面的問題進行我的思考與回答，期待與大家共同交流進步！

數學經緯網

數學除了可以進行科學研究，也能讓普通人明白生活中一些常見問題的原因。在這裡我舉兩個看似與數學不相關的例子：天氣預報和醫療診斷。通過數學的分析你會知道：天氣誤報、醫院誤診，不能完全怪氣象臺和醫院，有時候這是個數學問題。

天氣預報

許多人說，現在科學這麼發達，為什麼天氣預報總不準呢？這裡涉及一個數學問題，稱為條件概率。

什麼是條件概率呢？

比如我們要確定6月15日是不是下雨，根據往年經驗，下雨的概率有40%，不下雨的概率為60%，這就稱為概率。如果在前一天，天氣預報6月15日下雨，這就稱為條件， 在這種條件下6月15日真正下雨的概率就稱為條件概率。

天氣預報根據一定的氣象參數確定是否可能下雨，由於天氣琢磨不定，即便預報下雨，也有可能是晴天。假如天氣預報的準確率為90%，即在下雨的情況下，有90%的可能預報下雨，有10%的可能預報不下雨；同樣在不下雨的情況下，有10%的概率預報下雨，有90%的概率是預報不下雨。

這樣一來，6月15日的預報和天氣就有四種可能：預報下雨且真的下雨，預報不下雨但是下雨，天氣預報下雨但是不下雨，預報不下雨且真的不下雨。我們把四種情況列在下面的表格中，並計算相應的概率。

計算方法就是兩個概率的乘積。例如下雨概率40%，下雨時預報下雨的概率為90%，因此預報下雨且下雨這種情況佔四種情況的概率為36%。同樣我們可以計算出天氣預報下雨但是不下雨的概率為6%，二者之和為42%，這就是天氣預報下雨的概率。

在這42%的可能性中，真正下雨佔36%的可能，比例為

而不下雨的概率為6%，佔

也就是說，在天氣預報準確率為90%的情況下，預報下雨且真正下雨的概率只有85.7%。我們會發現，預報下雨時是否真的下雨，不光與預報的準確度有關，同時也與這個地區平時下雨的概率有關。

醫療檢查

與這個問題類似的是在醫院進行重大疾病檢查時，如果醫生髮現異常，一般不會直接斷定生病了，而是建議他去大醫院再檢查一次，雖然這兩次檢查可能完全是一樣的。為什麼樣這樣呢？

我們假設有一種重大疾病，患病人群佔總人群的比例為1/7000。也就是說，隨即選取一個人，有1/7000的概率患有這種疾病，有6999/7000的概率沒有患這種疾病。

有一種先進的檢測方法，誤診率只有萬分之一，也就是說，患病的人有1/10000的可能性誤診為健康人，健康人也有1/10000的可能性被誤診為患病。

我們要問：在一次檢查得到患病結果的前提下，這個人真正患病的概率有多大？

我們仿照剛才的做法，檢測出患病的總概率為

而患病且檢測出患病的概率為

所以在檢測患病的情況下，真正患病的概率為：

顯而易見，即便是萬分之一誤診的情況，一次檢測也不能完全確定這個人是否患病。

那麼，兩次檢測都是患病，情況又如何呢？

大家要注意，在第一次檢測結果為患病的前提下，此人患病的概率已經不再是所有人群的1/7000，而變為了自己的58.8%，健康的概率只有41.2%，所以第二次檢測的表格變為：

在兩次檢測都是患病的情況下，此人真正患病的概率為：

基本沒跑了。

對這個問題進行詳細討論的人是英國數學家貝葉斯。

貝葉斯指出： 如果A和B是兩個相關的事件。A有發生和不發生兩種可能，B有B1，B2，…，Bn共n種可能。那麼在A發生的前提下Bi發生的概率稱為條件概率P（Bi|A)。

要計算這個概率，首先要計算在Bi發生的條件下A發生的概率，公式為P(Bi)P(A|Bi)。

然後，需要計算事件A發生的總概率，方法是在用每種Bi情況發生的概率與相應情況下A發生的概率相乘，再將乘積相加。

最後，用上述兩個概率相除。完整的貝葉斯公式就是：

貝葉斯公式在社會學、統計學、醫學等領域，都發揮著巨大的作用。

李永樂老師

很多人問過我這個問題。其實大多數人在問這個問題的時候，心裡已經預設了否定的答案。確實，對於大多數人來說，已經發展到了連數字都基本很少用了的一些高等數學分支，是過於虛無飄渺了。但是實際上，今天我們的生活已經完全離不開數學。甚至可以這麼說，沒有高等數學的發展，就不會有今天的現代社會。

也許很多人會懷疑這點，那麼我就來稍微介紹一下現在高等數學的各主要學科的“用處”。初等數學就不說了，一些如離散數學、運籌學、控制論等純粹就是為了應用而發展起來的分支也不說了，重點介紹基礎方面的。

數學分析：主要包括微積分和級數理論。微積分是高等數學的基礎，應用範圍非常廣，基本上涉及到函數的領域都需要微積分的知識。級數中，傅立葉級數和傅立葉變換主要應用在信號分析領域，包括濾波、數據壓縮、電力系統的監控等，電子產品的製造離不開它。 實變函數（實分析）：數學分析的加強版之一。主要應用於經濟學等注重數據分析的領域。 複變函數（複分析）：數學分析加強版之二。應用很廣的一門學科，在航空力學、流體力學、固體力學、信息工程、電氣工程等領域都有廣泛的應用，所以工科學生都要學這門課的。 高等代數：主要包括線形代數和多項式理論。線形代數可以說是目前應用很廣泛的數學分支，數據結構、程序算法、機械設計、電子電路、電子信號、自動控制、經濟分析、管理科學、醫學、會計等都需要用到線形代數的知識，是目前經管、理工、計算機專業學生的必修課程。 高等幾何：包括空間解析幾何、射影幾何、球面幾何等，主要應用在建築設計、工程製圖方面。

分析學、高等代數、高等幾何是近代數學的三大支柱。

微分方程：包括常微分方程和偏微分方程，重要工具之一。流體力學、超導技術、量子力學、數理金融、材料科學、模式識別、信號(圖像)處理 、工業控制、輸配電、遙感測控、傳染病分析、天氣預報等領域都需要它。 泛函分析：主要研究無限維空間上的函數。因為比較抽象，在技術上的直接應用不多，一般應用於連續介質力學、量子物理、計算數學、控制論、最優化理論等理論。 近世代數（抽象代數）：主要研究各種公理化抽象代數系統的。技術上沒有應用，物理上用得比較多，尤其是其中的群論。 拓撲學：研究集合在連續變換下的不變性。在自然科學中應用較多，如物理學的液晶結構缺陷的分類、化學的分子拓撲構形、生物學的DNA的環繞和拓撲異構酶等，此外在經濟學中也有很重要的應用。

泛函分析、近世代數、拓撲學是現代數學三大熱門分支。

非歐幾何：主要應用在物理上，最著名的是相對論。

數論：曾經被認為是數學家的遊戲、唯一不會有什麼應用價值的分支。著名的哥德巴赫猜想就是數論裡的。現在隨著網絡加密技術的發展，數論也找到了自己用武之地——密碼學。前幾年破解MD5碼的王小云就是數論出身。

到目前為止，數學的所有一級分支都已經找到了應用領域，從自然科學、社會科學、工程技術到信息技術，數學的影響無處不在。如果沒有高等數學在二十世紀的發展，我們平時所玩的電腦、上的網絡、聽的mp3、用的手機都不可能存在。當然，一般的普通大眾是沒必要了結這些艱深抽象的東西，但是它們的存在和發展卻是必需的，總要有一些人去研究這些。

數學，就是算術，

最難的還是數論，一個哥德巴赫猜想，整了三百年，沒人想出來怎麼證。搞數論，人腦估計不夠用了。

關鍵字: 數學 思考 到底